Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

120 Дифференциальное исчисление
14.7. Найдите частные производные третьего порядка от
функции z = x
5
+ 4x
4
y −2x
3
y
2
+ 3x
2
y
3
+ y
4
.
Решение:
∂z
∂x
= 5x
4
+ 16x
3
y −6x
2
y
2
+ 6xy
3
,
∂z
∂y
= 4x
4
− 4x
3
y + 9x
2
y
2
+ 4y
3
,
∂
2
z
∂x
2
= 20x
3
+ 48x
2
y −12xy
2
+ 6y
3
,
∂
2
z
∂y∂x
=
∂
2
z
∂x∂y
= 16x
3
− 12x
2
y + 18xy
2
,
∂
2
z
∂y
2
= −4x
3
+ 18x
2
y + 12y
2
,
∂
3
z
∂x
3
= 60x
2
+ 96xy −12y
2
,
∂
3
z
∂y∂x
2
=
∂
3
z
∂x∂y∂x
=
∂
3
z
∂x
2
∂y
= 48x
2
− 24xy + 18y
2
,
∂
3
z
∂x∂y
2
=
∂
3
z
∂y∂x∂y
=
∂
3
z
∂y
2
∂x
= −12x
2
+ 36xy,
∂
3
z
∂y
3
= 18x
2
+ 24y.
14.8. Докажите, что функция z = arctg(y/x) удовлетворяет
уравнению Лапласа
∂
2
z
∂x
2
+
∂
2
z
∂y
2
= 0.
Решение:
∂z
∂x
=
1
1 + (y
2
/x
2
)
·
µ
−
y
x
2
= −
y
x
2
+ y
2
,
∂
2
z
∂x
2
=
2xy
(x
2
+ y
2
)
2
,
∂z
∂y
=
1
1 + (y/x)
2
·
1
x
=
x
x
2
+ y
2
,
∂
2
z
∂y
2
= −
2xy
(x
2
+ y
2
)
2
.

Страницы