Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

118 Дифференциальное исчисление
14.5. Найдите частные производные
∂u
∂x
,
∂u
∂y
,
∂u
∂z
от функ-
ции u =
y
p
x
2
+ y
2
+ z
2
и вычислите их значения в точке
M
0
(1; 2; 2).
Решение. Считая аргументы y и z константами, находим
∂u
∂x
=
∂
∂x
h
y(x
2
+ y
2
+ z
2
)
−1/2
i
=
= −
1
2
y(x
2
+ y
2
+ z
2
)
−3/2
· 2x =
−xy
p
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3
,
∂u
∂x
(1; 2; 2) =
−2
√
9
3
= −
2
27
.
Далее, полагая x и z константами, получаем
∂u
∂y
= (x
2
+ y
2
+ z
2
)
−1/2
−
y
2
p
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3
=
=
x
2
+ z
2
p
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3
,
∂u
∂y
(1; 2; 2) =
1 + 2
2
√
9
3
=
5
27
.
Аналогично находим
∂u
∂z
= −
yz
p
(x
2
+ y
2
+ z
2
)
3
;
∂u
∂z
(1; 2; 2) = −
4
27
.
Вы заметили, что частные производные
∂z
∂x
и
∂z
∂y
(их назы-
вают частными производными первого порядка) от функции
z(x, y ) сами являются функциями аргументов x и y. От этих
производных также можно взять частные производные и полу-
чить производные второго порядка:
∂
∂x
µ
∂z
∂x
=
∂
2
z
∂x
2
= z
00
xx
,
∂
∂y
µ
∂z
∂x
=
∂
2
z
∂y∂x
= z
00
yx
,
∂
∂x
µ
∂z
∂y
=
∂
2
z
∂x∂y
= z
00
xy
,
∂
∂y
µ
∂z
∂y
=
∂
2
z
∂y
2
= z
00
yy
.
Итак, в случае функции двух аргументов получили четыре

Страницы