Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 128 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

15. Производная по направлению 127
14.18. Докажите, что функция f(x, y, z) =
1
p
x
2
+ y
2
+ z
2
удовлетворяет уравнению
∂
2
f
∂x
2
+
∂
2
f
∂y
2
+
∂
2
f
∂z
2
= 0.
14.19. Найдите
dz
dx
и
d
2
z
dx
2
, если:
а) z = f(u, v), u =
1
x
2
, v = ln x;
б) z = f(u, v), u = e
2x
, v = sin x;
в) z = f(x, u, v), u = x
2
, v = x
3
;
г) z = sin
2
xf(u, v), u = 2x, v = 5x.
14.20. Найдите
∂z
∂x
,
∂z
∂y
,
∂
2
z
∂x
2
,
∂
2
z
∂x∂y
,
∂
2
z
∂y
2
, если:
а) z = f(u, v), u = xy; v =
x
y
;
б) z = f (u, v), u = 2x + 3y, v = 4x − 2y;
в) z = f (u, v), u = sin(x + y), v = sin(x − y),
г) z = f (u, v), u = x
2
− y
2
, v = x
2
+ y
2
.
15. Производная по направлению
Пусть дана дифференцируемая функция f(M) = f(x, y, z).
Производной функции f(M) в точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) в направле-
нии вектора a 6= 0 (обозначают
∂f
∂a
) называют предел
lim
M→M
0
f(M) − f(M
0
)
±|M
0
M|
, M
0
M k a,
если он существует и конечен. Знак «+» выбирают, если
M
0
M ↑↑ a, и знак «–» если M
0
M ↑↓ a. Обозначим через cos α,
cos β, cos γ — направляющие косинусы вектора a. Доказано,
что
∂f
∂a
(M
0
) =
∂f
∂x
(M
0
) cos α +
∂f
∂y
(M
0
) cos β +
∂f
∂z
(M
0
) cos γ. (а)
Вектор
½
∂f
∂x
(M
0
),
∂f
∂y
(M
0
),
∂f
∂z
(M
0
)
¾
, совпадающий с производ-
ной матрицей функции f(M) в точке M
0
, называют градиентом

Страницы