Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

128 Дифференциальное исчисление
функции f(M) в точке M
0
и обозначают grad f(M
0
). Формулу
(а) можно записать в виде
∂f
∂a
= (gradf(M
0
), a
0
), (б)
где a
0
— орт вектора a, т. е. вектор, направленный так же, как
вектор a, но по длине равный единице. Напомним, что если
a = {x, y, z}, то
a
0
=
(
x
p
x
2
+ y
2
+ z
2
,
y
p
x
2
+ y
2
+ z
2
,
z
p
x
2
+ y
2
+ z
2
)
.
Из формулы (б) следует физический смысл вектора grad f .
Это то направление, в котором
¯
¯
¯
¯
∂f
∂a
¯
¯
¯
¯
принимает наибольшее
значение, при этом
¯
¯
¯
¯
∂f
∂a
¯
¯
¯
¯
= |grad f(M
0
)|, т. е. модуль градиента
равен наибольшему значению
¯
¯
¯
¯
∂f
∂a
(M
0
)
¯
¯
¯
¯
среди всех возможных
направлений.
15.1. Найдите градиент и производную по направлению
a = {3, 0, −4} в точке M
0
(1, 2, −3) функции
f(x, y, z) = arctg
yz + 1
x
.
Решение. Найдем сначала grad f(M
0
):
∂f
∂x
=
1
1 +
(yz + 1)
2
x
2
·
−(yz + 1)
x
2
= −
yz + 1
x
2
+ (yz + 1)
2
,
∂f
∂x
(M
0
) =
5
26
,
∂f
∂y
=
1
1 +
(yz + 1)
2
x
2
·
z
x
=
xz
x
2
+ (yz + 1)
2
,
∂f
∂y
(M
0
) = −
3
26
,
∂f
∂z
=
1
1 +
(yz + 1)
2
x
2
·
y
x
=
yx
x
2
+ (yz + 1)
2
,
∂f
∂z
(M
0
) =
2
26
.
Таким образом, grad f(M
0
) =
½
5
26
, −
3
26
,
2
26
¾
.

Страницы