Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

130 Дифференциальное исчисление
Задачи для самостоятельного решения
15.4. Найдите градиент в указанной точке M
0
для следую-
щих функций:
а) f(x, y, z) =
p
x
2
+ y
2
+ z
2
, M
0
(1, −2, −2);
б) f(x, y, z) =
yz
2
x
2
, M
0
µ
√
2,
1
√
2
,
1
√
3
;
в) f(x, y, z) = arctg(−13 + x
2
+ y
2
+ z
2
), M
0
(1, 2, 3);
г) f(x, y, z) = 0,4 arcsin(7,6 + 4x
2
−5y
2
+ z
2
), M
0
(1, −2, −3);
д) f(x, y, z) = ctg
µ
π
4
+ 2x
2
y + 2xz
2
− y
2
z −3
, M
0
(1, 1, 1).
15.5. Для данной функции в указанной точке найдите на-
правление l, в котором она изменяется наиболее быстро, ука-
жите максимальную скорость этого изменения:
а) f(x, y, z) = x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
−xy −4x + 2y −4z, M
0
(0, 0, 1);
б) f(x, y, z) = x
2
y + y
2
z + z
2
x, M
0
(2, 1, 2).
15.6. Найдите производные по указанному направлению в
данной точке от следующих функций:
а) f(x, y, z) = xy + yz + zx, a = {3; 4; 12}, M
0
(1, 2, −1);
б) f(x, y, z) = x
2
− 3yz + 5, a = {1; 1; 1}, M
0
(2, 1, 3);
в) f(x, y, z) = 6 cos
µ
π
6
− 2 − 2x − 4y − 4z
, a = {−1; 2; 2},
M
0
(1, 2, −3);
г) f(x, y, z) = 1,8 arccos(2,8 −4x + 3y
2
−z
3
), a = {1; −2; −2},
M
0
(1, 1, 1);
д) f(x, y, z) = 7 sin
2
µ
π
4
+ 4x + y − 4z
, a = {−6; 2; 3},
M
0
(1, 1, 1).
15.7. Найдите производную функции z = x
2
− xy − 2y
2
в точке P (1, 2) в направлении, составляющем с осью OX
угол 60
◦
.

Страницы