Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

16. Производные параметрически заданных 131
15.8. Найдите производную функции z = ln
p
x
2
+ y
2
в точ-
ке M(1, 1) в направлении биссектрисы первого координатного
угла.
15.9. Найдите косинус угла между градиентами функции
z = ln
y
x
в точках A
µ
1
2
,
1
4
и B(1, 1).
16. Производные параметрически заданных
функций
Если функция y = f(x) задана параметрически в виде
½
x = x(t),
y = y(t),
t ∈ T , и функции x(t) и y(t) имеют произ-
водные достаточно высокого порядка, то производные
y
0
x
, y
00
xx
, . . . , y
(n)
(x)
можно найти по формулам
y
0
x
=
y
0
t
x
0
t
,
x = x(t),
y
00
xx
=
(y
0
x
)
0
t
x
0
t
,
x = x(t),
y
000
xxx
=
(y
00
xx
)
0
t
x
0
t
,
x = x(t)
и т.д.
16.1. Найдите y
0
x
и y
00
xx
, если функция y = f(x) задана пара-
метрически
½
x = ln(1 + t
2
),
y = t − arctg t.
Вычислите значение y
00
xx
при
t = 1.
Решение. Найдем сначала x
0
t
и y
0
t
: x
0
t
=
2t
1 + t
2
,
y
0
t
= 1 −
1
1 + t
2
=
t
2
1 + t
2
, следовательно,
y
0
t
x
0
t
=
t
2
/(1 + t
2
)
2t/(1 + t
2
)
=
t
2
,
поэтому
y
0
x
=
t
2
,
x = t − arctg t.
Так как (y
0
x
)
0
t
=
1
2
,
(y
0
x
)
0
t
x
0
(t)
=
t
2
+ 1
4t
, то
y
00
xx
=
t
2
+ 1
4t
,
x = t − arctg t.
При t = 1 вторая производная y
00
xx
=
1 + 1
4
=
1
2
.

Страницы