Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 134 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

17. Дифференцирование функций, заданных неявно 133
17. Дифференцирование функций, заданных
неявно
Пусть уравнение Φ(x, y) = 0 определяет неявно на [a, b]
функцию y = y(x), т. е. на [a, b] справедливо тождество
Φ [x, y(x)] ≡ 0 относительно x. Если функция Φ(x, y) имеет
непрерывные частные производные по x и по y и
∂Φ
∂y
6= 0, то
y
0
(x) = −
∂Φ
∂x
∂Φ
∂y
= −
Φ
0
x
Φ
0
y
. (а)
Если уравнение Φ(x, y, z) = 0 определяет неявно в обла-
сти D функцию z = z(x, y), т. е. в области D выполняется
тождество Φ(x, y, z(x, y)) ≡ 0 относительно (x, y) ∈ D, и функ-
ция Φ(x, y, z) имеет частные производные Φ
0
x
, Φ
0
y
, Φ
0
z
, причём
Φ
0
z
6= 0, то справедливы формулы
∂z
∂x
= −
Φ
0
x
Φ
0
z
,
∂z
∂y
= −
Φ
0
y
Φ
0
z
. (б)
17.1. Найдите y
0
x
от функций, заданных неявно уравнени-
ями:
а) Φ(x, y) = x
3
+ x
2
y + y
2
= 0; б) y
3
=
x − y
x + y
.
Решение: а) y
0
x
= −
Φ
0
x
Φ
0
y
= −
3x
2
+ 2xy
x
2
+ 2y
;
б) данное соотношение перепишем в виде
Φ(x, y) = y
3
(x + y) − x + y = y
3
x + y
4
− x + y = 0.
Тогда y
0
x
= −
y
3
− 1
3y
2
x + 4y
3
+ 1
.
17.2. Найдите y
00
x
от следующих функций, заданных неявно:
а) y = x + arctg y; б) x
2
+ 2xy −y
2
= 0.
Решение: а) в данном случае Φ(x, y) = x + arctg y − y,
поэтому y
0
x
= −
1
1
1 + y
2
− 1
= −
1 + y
2
−y
2
=
1
y
2
+ 1. Для отыскания

Страницы