Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 136 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

17. Дифференцирование функций, заданных неявно 135
17.4. Функция z(x, y) задана неявно уравнением
Φ(x, y, z) = 2x
2
+ 2y
2
+ z
2
− 8xz −z + 8 = 0. Найдите
∂z
∂x
,
∂z
∂y
,
∂
2
z
∂x
2
,
∂
2
z
∂y
2
,
∂
2
z
∂x∂y
и вычислите их значения в точке (2, 0).
Решение. Применяя формулы (б), находим:
∂z
∂x
= −
Φ
0
x
Φ
0
z
= −
4x − 8z
2z − 8x − 1
,
∂z
∂y
= −
Φ
0
y
Φ
0
z
= −
4y
2z − 6x − 1
.
При x = 2, y = 0 для определения z получаем уравнение
Φ(2, 0, z) = 8 + z
2
− 16z − z + 8 = z
2
− 17z + 16 = 0.
Отсюда находим два значения z: z
1
= 1, z
2
= 16, т. е. данное
уравнение в окрестности точки (2, 0) определяет две функции
z(x, y). Будем вычислять значения частных производных той
из них, для которой z = 1.
Теперь
∂z
∂x
(2, 0) = −
8 − 8
2 − 16 − 1
= 0,
∂z
∂y
(2, 0) = 0.
Находим вторые частные производные:
∂
2
z
∂x
2
=
∂
∂x
µ
8z − 4x
2z − 8x − 1
=
=
(8z
0
x
− 4)(2z − 8x − 1) − (2z
0
x
− 8)(8z − 4x)
(2z − 8x − 1)
2
=
=
(16z − 64x − 8 − 16z + 8x)z
0
x
− (8z − 32x − 4 − 64z + 32x)
(2z − 8x − 1)
2
=
=
(56x + 8) ·
4x − 8z
2z − 8x − 1
+ (56z + 4)
(2z − 8x − 1)
2
;
∂
2
z
∂x
2
(2, 0) =
56 + 4
(2 − 16 − 1)
2
=
60
15
2
=
4
15
;

Страницы