ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
136 Дифференциальное исчисление
∂
2
z
∂y
2
= −
4(2z −8x − 1) − 4y · 2z
0
y
(2z − 8x − 1)
2
,
∂
2
z
∂y
2
(2, 0) =
60
15
2
=
4
15
;
∂
2
z
∂x∂y
=
4y(2z
0
x
− 8)
(2z − 8x − 1)
2
,
∂
2
z
∂x∂y
(2, 0) = 0.
Чтобы найти явное выражение
∂
2
z
∂y
2
и
∂
2
z
∂x∂y
через x и y, нужно
в соотношения для z
00
yy
, z
00
xy
подставить выражения для z
0
y
и z
0
x
.
17.5. Функция z(x, y) задана неявно уравнением
Φ(x, y, z) = x
4
y
4
+ y
5
+ x
2
z
5
+ 4z − 5 = 0.
Найдите значения частных производных
∂z
∂x
,
∂z
∂y
,
∂
2
z
∂x
2
,
∂
2
z
∂y
2
,
∂
2
z
∂x∂y
в точке M
0
(0, 1).
Решение. В данной задаче явное выражение частных про-
изводных через x и y находить не требуется, а нужно найти
только их значения в указанной точке. Это можно сделать, не
используя формул (б), следующим образом. При x = 0, y = 1
из уравнения Φ(0, 1; z) = 1 + 4z − 5 = 0 получаем z = 1. Диф-
ференцируем тождество
x
4
y
4
+ y
5
+ x
2
[z(x, y)]
5
+ 4z(x, y) − 5 = 0 (в)
по x: 4x
3
y
4
+ 2x [z(x, y)]
5
+ x
2
· 5 [z(x, y)]
4
z
0
x
+ 4z
0
x
= 0. (г)
Полагая в (г) x = 0, y = 1, z(0, 1) = 1, получаем z
0
x
(0, 1) = 0.
Дифференцируем теперь тождество (в) по y:
4x
4
y
3
+ 5y
4
+ 5x
2
[z(x, y)]
4
z
0
y
(x, y) + 4z
0
y
(x, y) = 0. (д)
Отсюда при x = 0, y = 1, z = 1 следует, что 5 + 4z
0
y
(0, 1) = 0,
поэтому z
0
y
(0, 1) = −5/4.
Для отыскания z
00
xx
(0, 1) дифференцируем по x
тождество (г):
12x
2
y
4
+ 2z
5
(x, y) + 10x [z(x, y)]
4
z
0
x
+ 10x [z(x, y)]
4
z
0
x
(x, y)+
+20x
2
[z(x, y)]
3
(z
0
x
)
2
+ 5x
2
[z(x, y)]
4
z
00
xx
+ 4z
00
xx
= 0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 135
- 136
- 137
- 138
- 139
- …
- следующая ›
- последняя »
