Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 138 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

17. Дифференцирование функций, заданных неявно 137
Отсюда при x = 0, y = 1, z(0, 1) = 1, z
0
x
(0, 1) = 0 следует, что
2 + 4z
00
xx
(0, 1) = 0, т. е. z
00
xx
(0, 1) = −1/2.
Для отыскания z
00
yx
дифференцируем тождество (г) по пе-
ременной y:
16x
3
y
3
+ 10x [z(x, y)]
4
z
0
y
(x, y) + 20x
2
[z(x, y)]
3
z
0
y
· z
0
x
+
+5x
2
[z(x, y)]
4
· z
00
xy
+ 4z
00
xy
= 0.
Отсюда при x = 0, y = 1, z
0
x
(0, 1) = 0, z
0
y
(0, 1) = − 5/4 следует,
что z
00
xy
= 0.
Для отыскания z
00
yy
дифференцируем по переменной y тож-
дество (д):
12x
4
y
2
+ 20y
3
+ 20x
2
[z(x, y)]
3
h
z
0
y
(x, y)
i
2
+
+5x
2
[z(x, y)]
4
z
00
yy
(x, y) + 4z
00
yy
= 0.
Полагаем x = 0, y = 1, z(0, 1) = 1, z
0
y
(0, 1) = −5/4. Получаем
20 + 4z
00
yy
(0, 1) = 0, следовательно, z
00
yy
(0, 1) = −5.
Задачи для самостоятельного решения
17.6. Найдите y
0
x
функций, заданных неявно следующими
уравнениями:
а) x
4
+ y
4
− 3x
2
y
2
= 1;
б) y = 1 + y
x
;
в) −4x
2
− 6y
2
− 9xy + 32y − 19 = 0;
г) −7x
4
+ 4y
3
− 2xy −x −47y + 74 = 0.
17.7. Найдите значения y
0
x
в указанной точке x
0
функций,
заданных неявно следующими уравнениями:
а) x
2
− 2xy + y
2
+ x + y −2 = 0, x
0
= 1;
б) ln x + e
−y/x
= 1, x
0
= 1;
в) −5x
2
+ y
2
+ 2xy + 2x −5y + 5 = 0, x
0
= 1, y(1) = 1;
г) −2x
3
+ y
4
− 8x
2
y
2
+ 5x + 11y −7 = 0, x
0
= 1, y(1) = 1.
17.8. Найдите y
00
(x) функций, заданных неявно следующи-
ми уравнениями:
а) e
x
− e
y
= y −x; б) ln
q
x
2
+ y
2
= arctg
y
x
;
в) x + y + α sin y = 0; г) (x + y)
2
− 4x + 2y −2 = 0.

Страницы