Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 140 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

18. Геометрический и механический смысл 139
18. Геометрический и механический смысл
производных
18.1. Закон движения точки по прямой имеет вид
x(t) =
1
5
t
5
+
1
4
t
4
+t
2
(x дается в метрах, t — в секундах). Найдите
скорость и ускорение точки в момент времени t
0
= 1 .
Решение. Известно, что скорость точки равна v(t
0
) = x
0
(t
0
),
а ускорение равно a(t
0
) = x
00
(t
0
). Так как x
0
(t) = t
4
+ t
3
+ 2t,
x
00
(t) = 4t
3
+ 3t
2
+ 2, то v(t
0
) = 1
4
+ 1
3
+ 2 = 4 м/c,
a(t
0
) = 4 · 1
3
+ 3 · 1
2
+ 2 = 9 м/c
2
.
18.2. Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону
x = t
2
+ t + 1. Определите его кинетическую энергию в момент
времени t = 5 c (x дается в метрах).
Решение. Кинетическую энергию W можно найти по фор-
муле W =
mv
2
2
. Так как v(5) = (2t + 1)
t=5
= 11 м/c, то
W =
4 · 11
2
2
= 242 Дж.
Уравнение касательной и нормали к графику функции
y = f(x) в точке (x
0
, f(x
0
)) можно записать соответственно в
виде
y −y
0
= f
0
(x
0
)(x − x
0
); (а)
y −y
0
= −
1
f
0
(x
0
)
(x − x
0
). (б)
18.3. Составьте уравнение касательной и нормали к графи-
ку функции f(x) = x
3
− 3x + 5 в точке x
0
= 2.
Решение. В нашем случае
y
0
= f(x
0
) = f(2) = 2
3
− 3 · 2 + 5 = 7,
f
0
(x) = 3x
2
− 3,
f
0
(x
0
) = f
0
(2) = 3 · 2
2
− 3 = 9.
Записываем, используя формулы (а) и (б), уравнение ка-
сательной y − 7 = 9(x − 2), или y = 9x − 11, и нормали
y −7 = −
1
9
(x − 2), или x + 9y − 65 = 0.

Страницы