Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 142 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

18. Геометрический и механический смысл 141
18.7. Найдите углы, под которыми пересекаются кривые
y
1
= x
2
и y
2
= ±
√
x.
Решение. Данные кривые пересекаются в двух точках:
M
1
(0; 0) и M
2
(1; 1). Поскольку y
0
1
= 2x и y
0
1
(0) = 0, то парабола
y
1
= x
2
касается оси OX. Так как y
0
2
= ±
1
2
√
x
→ ∞ при
x → 0, то кривая y
2
= ±
√
x касается оси OY . Следовательно,
в точке M
1
(0; 0) эти кривые пересекаются под прямым углом.
Для точки M
2
(1; 1) получаем k
1
= y
0
1
(1) = 2, k
2
= y
0
2
=
1
2
.
Поэтому tg ϕ =
|k
2
− k
1
|
1 + k
1
k
2
=
|2 − 0,5|
1 + 0,5 ·2
=
3
4
, ϕ = arctg
3
4
,
где ϕ — угол между касательными к данным кривым в точ-
ке M
2
.
Пусть поверхность задана уравнением z = f (x, y), причем
функция f(x, y) в каждой точке своей области определения
имеет непрерывные частные производные. Тогда уравнение ка-
сательной плоскости в точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) поверхности записы-
вается в виде:
∂f
∂x
(M
0
)(x − x
0
) +
∂f
∂y
(M
0
)(y − y
0
) −(z − z
0
) = 0. (в)
Прямая, проходящая через точку M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) ортогонально
касательной плоскости, называется нормалью к поверхности.
Её уравнение:
x − x
0
∂z
∂x
(M
0
)
=
y − y
0
∂z
∂y
(M
0
)
=
z − z
0
−1
. (г)
Если поверхность задана уравнением F (x, y, z) = 0, нераз-
решённым относительно z, т. е. функция z = f(x, y) задана
неявно, то касательная плоскость в точке M
0
(x
0
, y
0
, z
0
) опре-
деляется уравнением
∂F
∂x
(M
0
)(x − x
0
) +
∂F
∂y
(M
0
)(y − y
0
) +
∂F
∂z
(M
0
)(z − z
0
) = 0, (д)

Страницы