Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 143 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

142 Дифференциальное исчисление
а нормаль — уравнением
x − x
0
∂F
∂x
(M
0
)
=
y − y
0
∂F
∂y
(M
0
)
=
z − z
0
∂F
∂z
(M
0
)
. (е)
Как видим, вектор N =
½
∂F
∂x
,
∂F
∂y
,
∂F
∂z
¾
, называемый век-
тором нормали к поверхности, совпадает с вектором grad F .
В этом заключается геометрический смысл производной мат-
рицы функции u = F (x, y, z).
18.8. Найдите уравнения касательной плоскости и нормали
к поверхности z = x
4
+ 2x
2
y − xy + x в точке M
0
(1; 0; 2).
Решение. Искомые уравнения запишем в форме (в) и (г).
Находим:
∂z
∂x
= 4x
3
+ 4xy − y + 1,
∂z
∂x
(M
0
) = 4 + 1 = 5;
∂z
∂y
= 2x
2
− x,
∂z
∂y
(M
0
) = 2 − 1 = 1.
Поэтому уравнение касательной плоскости имеет вид
5(x − 1) + y − (z − 2) = 0, или 5x + y − z − 3 = 0, а нормали —
x − 1
5
=
y
1
=
z − 2
−1
.
18.9. Запишите уравнения касательной плоскости и норма-
ли к поверхности, заданной уравнением
F (x, y, z) = x
2
+ 2y
2
− 3z
2
+ xy + yz − 2xz + 16 = 0,
в точке M
0
(1; 2; 3).
Решение. В данной задаче, так как уравнение поверхности
задано неявно, используем форму записи (д) и (е).
Находим:
∂F
∂x
= 2x + y − 2z,
∂F
∂x
(M
0
) = 2 + 2 − 6 = −2;
∂F
∂y
= 4y + x + z,
∂F
∂y
(M
0
) = 8 + 1 + 3 = 12;
∂F
∂z
= −6z + y −2x,
∂F
∂z
(M
0
) = −18 + 2 − 2 = −18.

Страницы