Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 141 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

140 Дифференциальное исчисление
18.4. Запишите уравнение касательной и нормали кривой,
заданной параметрически
½
x = t
2
+ 3t − 8,
y = 2t
2
− 2t − 5
в точке, соответ-
ствующей значению параметра t
0
= 1.
Решение. Находим значения x
0
, y
0
, f
0
(x
0
):
x
0
= x(1) = 1 + 3 − 8 = −4, y
0
= y(1) = 2 − 2 − 5 = −5,
y
0
x
=
4t − 2
2t + 3
,
x = t
3
+ 3t − 8,
y
0
(1) =
4 − 2
2 + 3
=
2
5
. Записываем
уравнение касательной y + 5 =
2
5
(x + 4), или 2x − 5y − 17 = 0,
и нормали y + 5 = −
5
2
(x + 4), или 5x + 2y + 30 = 0.
18.5. Составьте уравнение касательной и нормали к графи-
ку функции y(x), заданной неявно уравнением x
5
+y
5
−2xy = 0,
в точке M
0
(1; 1).
Решение. По правилу дифференцирования неявно заданной
функции получаем y
0
x
= −
5x
4
− 2y
5y
4
− 2x
, y
0
(1) = −
5 − 2
5 − 2
= −1. По-
этому уравнение касательной y − 1 = 1 − x, или x + y = 2, а
нормали x − y = 0.
18.6. Запишите уравнение касательной прямой и нормаль-
ной плоскости пространственной кривой, заданной вектор-
функцией скалярного аргумента
r(t) = (t
2
− 1)i + (t
3
− 3)j + (3t − 1)k, при t
0
= 2.
Решение. Находим координаты точки, соответствующей
значению t
0
= 2 : M
0
(3; 5; 5). Вектор r
0
(t) = 2ti + 3t
2
j + 3k
касается данной кривой, r
0
(2) = 4i + 12j + 3k. Касательная
проходит через точку M
0
(3; 5; 5) параллельно вектору l = r
0
(2).
Запишем её канонические уравнения:
x − 3
4
=
y − 5
12
=
z − 5
3
.
Нормальная плоскость к кривой проходит через точку
M
0
(3; 5; 5) перпендикулярно вектору N = r
0
(2) = {4; 12; 3}. По-
этому её уравнение можно записать в виде
4(x − 3) + 12(y − 5) + 3(z − 5) = 0, или 4x + 12y + 3z − 87 = 0.

Страницы