Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 135 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

134 Дифференциальное исчисление
y
00
xx
дифференцируем по x последнее соотношение, учитывая,
что y является функцией от x. Получаем y
00
(x) = −
2
y
3
y
0
, но
y
0
=
y
2
+ 1
y
2
, поэтому y
00
(x) = −
2(1 + y
2
)
y
5
;
б) в рассматриваемом случае Φ(x, y) = x
2
+ 2xy − y
2
= 0,
поэтому y
0
(x) = −
2x + 2y
2x − 2y
=
x + y
y −x
. Находим вторую произ-
водную, дифференцируя частное
x + y
y −x
с учетом, что y есть
функция от x. Получаем
y
00
(x) =
(1 + y
0
)(y −x) −(x + y)(y
0
− 1)
(y −x)
2
=
=
2y −2xy
0
(y −x)
2
=
2y −2x ·
x + y
y −x
(y −x)
2
=
2(y
2
− x
2
− 2xy)
(y −x)
3
.
Можно было бы найти и третью производную, дифферен-
цируя по x последнее частное.
Подчеркнем, что все производные от неявно заданной
функции выражаются явно через x и y.
17.3. Найдите значение y
00
(x) в точке x = 0, если
x
4
− xy + y
4
= 1 и y(0) = 1.
Решение. В тех задачах, в которых требуется найти только
значения производных в указанной точке, а явное их выраже-
ние через x и y находить не требуется, можно поступить по-
другому, не используя формулу (а). Дифференцируем дважды
тождество x
4
− xy(x) + y
4
(x) = 1 по x. Получаем
4x
3
− y(x) − xy
0
(x) + 4y
3
y
0
(x) = 0,
12x
2
− y
0
(x) − y
0
(x) − xy
00
(x) + 12y
2
[y
0
(x)]
2
+ 4y
3
y
00
(x) = 0.
Из первого соотношения при x = 0 и y = 1 получаем y
0
(0) =
= 1/4. Полагая x = 0, y = 1, y
0
(0) = 1/4, из второго соотноше-
ния находим y
00
(0) = −1/16.

Страницы