Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 130 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

15. Производная по направлению 129
Находим орт вектора a:
a
0
=
½
3
√
3
2
+ 0 + 4
2
, 0,
−4
√
3
2
+ 0 + 4
2
¾
=
½
3
5
, 0, −
4
5
¾
.
По формуле (б) находим
∂f
∂α
(M
0
) =
3
5
·
µ
5
26
+ 0 ·
µ
−
3
26
+
µ
−
4
5
·
2
26
=
7
130
.
15.2. Найдите производную от функции
f(x, y, z ) = x
3
y−xy
3
−3z
2
в точке M
0
(1, 1, −1) по направлению,
идущему от точки M
0
в точку A(3, −1, −2).
Решение. Находим grad f(x, y, z) в точке M
0
:
∂f
∂x
= 3x
2
y − y
3
,
∂f
∂x
(M
0
) = 2,
∂f
∂y
= x
3
− 3xy
2
,
∂f
∂y
(M
0
) = −2,
∂f
∂z
= −6z,
∂f
∂z
(M
0
) = 6.
Итак, grad f(M
0
) = {2, −2, 6}. Находим координаты векто-
ра a = M
0
A = {2, −2, −1}. Так как |a| =
√
4 + 4 + 1 = 3, то орт
вектора a имеет координаты
½
2
3
, −
2
3
, −
1
3
¾
. Поэтому
∂f
∂a
= (grad f(M
0
), a
0
) = 2 ·
2
3
+ 2 ·
2
3
− 6 ·
1
3
=
2
3
.
15.3. Определите, по какому направлению в точке
M
0
(−2, −2, 2) функция f(x, y, z) = x
2
y
2
+ x
2
z
2
+ y
2
z
2
изменя-
ется наиболее быстро и какова максимальная скорость этого
изменения.
Решение. Наиболее быстро функция изменяется в направ-
лении её градиента, а максимальная скорость изменения равна
|grad f(x, y, z)|. Так как
grad f(x, y, z) =
∂f
∂x
i +
∂f
∂y
j +
∂f
∂
k =
= (2xy
2
+ 2xz
2
)i + (2x
2
y + 2yz
2
)j + (2x
2
z + 2y
2
z)k,
то grad f(M
0
) = −32i − 32j + 32k. Наиболее быстро функция
f(x, y, z ) изменяется в направлении вектора {1, 1, −1}, при этом
max
¯
¯
¯
¯
∂f
∂a
¯
¯
¯
¯
= |grad f(M
0
)| = 32
√
1 + 1 + 1 = 32
√
3.

Страницы