Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 158 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

20. Формула Тейлора 157
20. Формула Тейлора
Мы уже отмечали, что в приближенных вычислениях ино-
гда приращение функции заменяют её дифференциалом. Если
при этом точность недостаточна, то привлекают дифференци-
алы второго, третьего, и т. д. порядков. Доказано, что если
функция имеет производные до n + 1 порядка включительно в
некоторой окрестности U
δ
(x
0
), то справедлива формула
f(x) = f(x
0
) + df(x
0
) +
1
2!
d
2
f(x
0
) + . . .
. . . +
1
n!
d
n
f(x
0
) + R
n+1
(x), x ∈ U
δ
(x
0
),
(а)
называемая формулой Тейлора порядка n. Величина R
n+1
на-
зывается остаточным членом формулы Тейлора. Формула (а)
справедлива для любых скалярнозначных функций скалярно-
го или векторного аргумента.
Если y = f(x) скалярная функция одного скалярного ар-
гумента, имеющая производные до (n + 1)-го порядка включи-
тельно, то формулу (а) можно записать в виде
f(x) = f(x
0
) +
f
0
(x
0
)
1!
(x − x
0
) +
f
00
(x
0
)
2!
(x − x
0
)
2
+ . . .
. . . +
f
(n)
(x
0
)
n!
(x − x
0
)
n
+
f
(n+1)
(ξ)
(n + 1)!
(x − x
0
)
n+1
,
(б)
где x ∈ U
δ
(x
0
), ξ — некоторая точка также из U
δ
(x
0
), распо-
ложенная между точками x и x
0
. Соотношение (б) называют
формулой Тейлора порядка n с остаточным членом в форме
Лагранжа. В частности, при x
0
= 0 получаем
f(x) = f(0) +
f
0
(0)
1!
x +
f
00
(0)
2!
x
2
+ . . .
. . . +
f
(n)
(0)
n!
(x)
n
+
f
(n+1)
(ξ) · (x)
n+1
(n + 1)!
.
(в)
Это формула Маклорена порядка n.
Как видим, формула Тейлора порядка n позволяет предста-
вить функцию y = f(x) в виде суммы многочлена n-й степени
и остаточного члена.

Страницы