Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 159 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

158 Дифференциальное исчисление
20.1. Многочлен f(x) = x
3
− 2x
2
+ 3x + 4 разложите по
степеням двучлена x + 2.
Решение. Применим формулу (б), положив f(x) = x
3
−2x
2
+
+ 3x + 4, x
0
= −2. Находим:
f(x
0
) = f(−2) = (−2)
3
− 2(−2)
2
+ 3(−2) + 4 =
= −8 − 8 −6 + 4 = −18,
f
0
(x) = 3x
2
− 4x + 3, f
0
(x
0
) = f
0
(−2) = 12 + 8 + 3 = 23,
f
00
(x) = 6x − 4, f
00
(x
0
) = f
00
(−2) = −12 − 4 = −16,
f
000
(x) = 6, f
(4)
= . . . = f
(n)
= 0.
Можем записать:
x
3
−2x
2
+ 3x + 4 = −18 + 23(x + 2) −
16
2!
(x + 2)
2
+
6
3!
(x + 2)
3
,
x
3
− 2x
2
+ 3x + 4 = −18 + 23(x + 2) − 8(x + 2)
2
+ (x + 2)
3
.
20.2. Запишите формулу Тейлора указанного порядка в
данной точке для следующих функций:
а) f(x) =
x
x − 1
, x
0
= 3, n = 4;
б) f(x) = arcsin x, x
0
= 0, n = 3.
Решение:
а) f(x) = 1 +
1
x − 1
, f(x
0
) = f(3) =
3
2
,
f
0
(x) = −
1
(x − 1)
2
, f
0
(3) = −
1
4
,
f
00
(x) =
2
(x − 1)
3
, f
00
(3) =
1
4
,
f
000
(x) = −
6
(x − 1)
4
, f
000
(3) = −
6
16
= −
3
8
,
f
(4)
(x) =
24
(x − 1)
5
, f
(4)
(3) =
24
32
=
3
4
,
f
(5)
(x) = −
120
(x − 1)
6
.

Страницы