Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 160 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

20. Формула Тейлора 159
По формуле (б) справедливо равенство
x
x − 1
=
3
2
−
1
4
(x − 3) +
1
4 · 2!
(x − 3)
2
−
3
8 · 3!
(x − 3)
3
+
+
3
4 · 4!
(x − 3)
4
−
120
(ξ − 1)
6
· 5!
(x − 3)
5
,
где ξ — некоторая точка между точками x и x
0
= 3;
б) f(0) = arcsin 0 = 0,
f
0
(x) =
1
√
1 − x
2
, f
0
(0) = 1.
f
00
(x) =
x
p
(1 − x
2
)
3
, f
00
(0) = 0,
f
000
(x) = (1 − x
2
)
−3/2
+ 3x
2
(1 − x
2
)
−5/2
, f
000
(0) = 1,
f
(4)
(x) = 3x(1 −x
2
)
−5/2
+ 6x(1−x
2
)
−5/2
+ 15x
3
(1 −x
2
)
−7/2
=
=
9x + 6x
3
(1 − x
2
)
7/2
.
По формуле Маклорена (в) записываем
arcsin x = x −
x
3
6
+
(9ξ − 6ξ
3
)x
4
24(1 − ξ
2
)
7/2
,
где ξ — некоторая точка между точками 0 и x.
20.3. Вычислите приближенно с абсолютной погрешно-
стью, не превышающей 0,001, следующие числа:
а) sin 1; б)
√
e.
Решение: а) представим функцию f(x) = sin x формулой
Маклорена [6, c. 132]:
sin x = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
−
x
7
7!
+ ··· +
(−1)
n−1
(2n − 1)!
x
2n−1
+ R
2n
,
где R
2n
=
(sin x)
(2n)
¯
¯
¯
x=ξ
(x
2n
)
2n!
. Видим, что
|R
2n
| =
|(sin ξ)
(2n)
||x
2n
|
(2n)!
≤
|x
2n
|
(2n)!
.

Страницы