Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 161 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

160 Дифференциальное исчисление
При x = 1 для определения n имеем неравенство (2n)! > 1000.
Так как при n = 4 имеем (2n)! = 8! = 720 · 8 · 7 > 1000, то
требуемая точность будет достигнута, если положим
sin 1 = 1 −
1
6
+
1
120
−
1
5040
=
= 1 − 0,16667 + 0,00833 − 0,0002
∼
=
0,842;
б) функцию
√
e
x
= e
x/2
представим формулой Маклорена:
e
x/2
= 1 +
1
2
x +
1
4 · 2!
x
2
+
x
3
8 · 3!
+
x
4
16 · 4!
+ ···+
+
x
n
2
n
· n!
+
e
ξ/2
x
n+1
2
n+1
· (n + 1)!
,
где ξ — число, расположенное между нулем и единицей. При
x = 1 остаточный член R
n+1
=
e
ξ/2
2
n+1
· (n + 1)!
. Так как e < 3, то
e
ξ/2
< e
1/2
< 2, поэтому
R
n+1
<
2
2
n+1
· (n + 1)!
=
1
2
n
· (n + 1)!
.
При n = 4 имеем R
5
<
1
16 · 120
< 0,001. Следовательно:
√
e
∼
=
1 +
1
2
+
1
8
+
1
48
+
1
16 · 24
+
1
32 · 120
∼
=
∼
=
1 + 0,5 + 0,125 + 0,0208 + 0,0026 + 0,0003
∼
=
1,649.
Более точные вычисления дают
√
e ≈ 1,648721271.
Для функции z = f(x, y), имеющей непрерывные частные
производные в окрестности U
δ
(x
0
, y
0
) до (n + 1)-го порядка
включительно, формулу (а) можно записать в виде
f(x, y) = f(x
0
, y
0
) +
∂f
∂x
(x
0
, y
0
)(x −x
0
) +
∂f
∂y
(x
0
, y
0
)(y −y
0
)+
+
1
2!
"
∂
2
f
∂x
2
(x
0
, y
0
)(x − x
0
)
2
+ 2
∂
2
f
∂x∂y
(x
0
, y
0
)(x − x
0
)(y − y
0
)+
+
∂
2
f
∂y
2
(x
0
, y
0
)(y − y
0
)
2
#
+
1
3!
"
∂
3
f
∂x
3
(x
0
, y
0
)(x − x
0
)
3
+

Страницы