Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 163 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

162 Дифференциальное исчисление
20.9. Запишите формулу Тейлора третьего порядка в
окрестности точки (0; 0) для следующих функций:
а) z =
1
1 − x − y + xy
; б) z = e
x
cos y; в) z = sin(x
2
+ y
2
).
21. Условия дифференцируемости
функции. Теоремы дифференциального
исчисления
Необходимым условием дифференцируемости функции яв-
ляется существование производной матрицы. Для функций од-
ного числового аргумента это условие оказывается и достаточ-
ным. Для функций многих скалярных аргументов, например
u = f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
), этого недостаточно. Доказано, что если
функция u = f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) имеет частные производные по
каждому аргументу x
1
, x
2
, . . . , x
n
в некоторой окрестности точ-
ки M и эти частные производные непрерывны в точке M, то
функция u = f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) дифференцируема в точке M .
Для скалярной функции одного скалярного аргумен-
та y = f (x) определяют понятие левой и правой произ-
водной. Правой производной в точке x
0
называют предел
lim
∆x→0,∆x>0
f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
)
∆x
, если он существует и конечен,
её обозначают f
0
+
(x
0
). Левую производную обозначают f
0
−
(x
0
)
и определяют равенством
f
0
−
(x
0
) = lim
∆x→0,∆x<0
f(x
0
+ ∆x) − f(x
0
)
∆x
.
Если функция f(x) в точке x
0
дифференцируема, а следо-
вательно, существует конечная производная f
0
(x
0
), то суще-
ствуют f
0
+
(x
0
) и f
0
−
(x
0
) и f
0
(x
0
) = f
0
+
(x
0
) = f
0
−
(x
0
).
21.1. Докажите, что функция y = |x| в точке x
0
не диффе-
ренцируема.
Решение. В данном случае
lim
∆x→0
f(0 + ∆x) −f(0)
∆x
= lim
∆x→0
|∆x|
∆x
.

Страницы