Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 164 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

21. Условия дифференцируемости функции 163
Этот предел не существует. Действительно,
lim
∆x→0,∆x>0
|∆x|
∆x
= lim
∆x→0,∆x>0
∆x
∆x
= 1 = f
0
+
(0),
lim
∆x→0,∆x<0
|∆x|
∆x
= lim
∆x→0,∆x<0
−∆x
∆x
= −1 = f
0
−
(0).
Таким образом, функция y = |x| имеет в точке x
0
конечные
правую и левую производные, но они не равны между собой.
Следовательно, производная функции y = |x| в точке x
0
не
существует, а потому функция f(x) в точке x
0
не дифферен-
цируема.
21.2. Докажите, что функция
f(x) =
x sin
1
x
, если x 6= 0,
0, если x = 0,
не дифференцируема в точке x = 0, при этом не существуют
ни правая, ни левая производные.
Решение. Действительно, в нашем примере
∆f
∆x
=
f(0 + ∆x) − f(0)
∆x
=
∆x sin
1
∆x
∆x
= sin
1
∆x
, но величи-
на sin
1
∆x
не стремится ни к какому пределу при ∆x → ±0, т. е.
производная не существует, а потому функция f(x) = x sin
1
x
в
точке x = 0 не дифференцируема. Эта функция при x = 0 не
имеет ни правой, ни левой производной.
21.3. Докажите, что функция f(x) = |x
3
| дифференцируе-
ма при любом x.
Решение. По определению модуля можем записать
f(x) =
−x
3
, если x < 0,
x
3
, если x > 0,
0, если x = 0.
Поэтому f
0
(x) = −3x
2
, если x < 0; f
0
(x) = 3x
2
, если x > 0,
т. е. во всех точках x 6= 0 производная существует и конечна.

Страницы