Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 165 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

164 Дифференциальное исчисление
Проверим точку x = 0:
f
0
(0) = lim
∆x→0
f(0 + ∆x) − f(0)
∆x
= lim
∆x→0
|∆x|
3
∆x
=
= lim
∆x→0
|∆x|(∆x)
2
∆x
= lim
∆x→0
∆x · |∆x| = 0.
Как видим, существует конечная производная и в точке
x = 0. Таким образом, функция f(x) = |x
3
| дифференцируема
на всей числовой оси.
Как мы уже отмечали, в случае функции многих перемен-
ных существования производной матрицы недостаточно для
дифференцируемости функции. В то же время существование
и непрерывность частных производных — условие достаточ-
ное, оно не является необходимым. Возможны случаи, когда
это условие не выполнено, но функция дифференцируема.
Сказанное подтверждается примерами функций в следую-
щих задачах.
21.4. Докажите, что функция
f(x, y) =
x
3
+ y
3
x
2
+ y
2
, x
2
+ y
2
6= 0,
0, x
2
+ y
2
= 0
имеет в точке (0; 0) частные производные, но не дифференци-
руема в этой точке.
21.5. Докажите, что функция
f(x, y) =
(x
2
+ y
2
) sin
1
p
x
2
+ y
2
, x
2
+ y
2
6= 0,
0, x
2
+ y
2
= 0
имеет частные производные в окрестности точки (0; 0) и диф-
ференцируема в этой точке, но частные производные не явля-
ются непрерывными в точке (0; 0).
С решением задач 21.4 и 21.5 можно ознакомиться
в [4, c. 33–35].

Страницы