Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 162 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

20. Формула Тейлора 161
+3
∂
3
f
∂x
2
∂y
(x
0
, y
0
)(x − x
0
)
2
(y − y
0
)+
+3
∂
3
f
∂x∂y
2
(x
0
, y
0
)(x − x
0
)(y − y
0
)
2
+
∂
3
f
∂y
3
(x
0
, y
0
)(y − y
0
)
3
#
+
+ ··· +
1
n!
·
∂
∂x
(x − x
0
) +
∂
∂y
(y − y
0
)
¸
n
f(x
0
, y
0
) + R
n+1
.
20.4. Функцию z = e
2(x+y)
представьте формулой Тейлора
третьего порядка в окрестности точки x
0
= 1, y
0
= −1.
Решение. Все частные производные n-го порядка от функ-
ции z = e
2(x+y)
в точке M
0
(1; −1) равны 2
n
, поэтому e
2(x+y)
=
= 1 + 2[(x −1)+(y +1)] +
2
2
2!
[(x−1)
2
+2(x−1)(y +1) + (y +1)
2
]+
+
2
3
3!
[(x −1)
3
+ 3(x −1)
2
(y + 1) + 3(x −1)(y + 1)
2
+ (y + 1)
3
] + R
4
.
Задачи для самостоятельного решения
20.5. Следующие многочлены разложите по степеням дву-
члена x − x
0
при заданных значениях x
0
:
а) f(x) = x
4
+ 4x
2
− x + 3, x
0
= 1;
б) f(x) = 2x
3
− 3x
2
+ 5x + 1, x
0
= −1.
20.6. Запишите формулу Тейлора указанного порядка в
данной точке для следующих функций:
а) f(x) =
1
√
x
, x
0
= 4, n = 4;
б) f(x) = tg x, x
0
= 0, n = 3;
в) f(x) =
3
√
1 + x, x
0
= 0, n = 2.
20.7. Вычислите с абсолютной погрешностью, не превыша-
ющей 0,001, приближенные значения следующих чисел:
а)
5
√
33; б) ln 1,05; в) arctg 0,2; г)
1
4
√
e
.
20.8. Запишите формулу Тейлора второго порядка для
функции z = sin x sin y в окрестности точки
µ
π
4
;
π
4
.

Страницы