Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 168 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

22. Правило Лопиталя 167
22. Правило Лопиталя
Теоретическим обоснованием вычисления пределов по пра-
вилу Лопиталя является следующая теорема.
Теорема Лопиталя. Если:
1) функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой про-
колотой окрестности
◦
U
δ
(x
0
) точки x
0
;
2) g(x) 6= 0 в
◦
U
δ
(x
0
);
3) функции f(x) и g(x) либо обе бесконечно малые, либо
обе бесконечно большие при x → x
0
;
4) существует lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
, то существует и lim
x→x
0
f(x)
g(x)
, причём
lim
x→x
0
f(x)
g(x)
= lim
x→x
0
f
0
(x)
g
0
(x)
.
Теорема применима и при x
0
= −∞, +∞, ∞.
22.1. Найдите следующие пределы, применяя правило Ло-
питаля: а) lim
x→0
e
3x
− 1
arcsin 4x
; б) lim
x→+∞
π − 2 arctg x
e
3/x
− 1
.
Решение:
а) в данном случае f(x) = e
3x
− 1, g(x) = arcsin 4x. Функ-
ция f(x) = e
3x
− 1 дифференцируема на всей числовой оси, а
g(x) = arcsin 4x — в промежутке
µ
−
1
4
;
1
4
;
g
0
(x) =
4
√
1 − 16x
2
6= 0 при x ∈
µ
−
1
4
;
1
4
;
lim
x→0
f(x) = lim
x→0
g(x) = 0;
lim
x→0
f
0
(x)
g
0
(x)
= lim
x→0
3e
3x
4/
√
1 − 16x
2
=
3
4
.
По теореме Лопиталя
lim
x→0
f(x)
g(x)
= lim
x→0
e
3x
− 1
arcsin 4x
= lim
x→0
3e
3x
4/
√
1 − 16x
2
=
3
4
;

Страницы