Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 169 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

168 Дифференциальное исчисление
б) поскольку lim
x→+∞
2 arctg x = π, lim
x→+∞
e
3/x
= 1, то име-
ем неопределённость
0
0
. Для функций f(x) = π − 2 arctg x и
g(x) = e
3/x
− 1 первые три условия теоремы Лопиталя выпол-
нены. Проверим четвёртое условие:
lim
x→+∞
f
0
(x)
g
0
(x)
= lim
x→+∞
−2
(1 + x
2
)e
3/x
µ
−
3
x
2
=
= lim
x→+∞
2
3
x
2
(1 + x
2
)e
3/x
=
2
3
.
Следовательно, lim
x→+∞
π − 2 arctg x
e
3/x
− 1
=
2
3
.
Неопределённости вида 0·∞, ∞−∞ можно свести к неопре-
делённостям 0/0 или ∞/∞.
22.2. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→+∞
x sin
4
x
; б) lim
x→π/2
µ
x
ctg x
−
π
2 cos x
.
Решение:
а) lim
x→+∞
x sin
4
x
= (0 · ∞) = lim
x→+∞
sin
4
x
1
x
=
=
µ
0
0
= − lim
x→+∞
−
4
x
2
cos
4
x
−
1
x
2
= 4
(впрочем, правило Лопиталя можно не применять, а сделать
замену 1/x = t);
б) lim
x→π/2
µ
x
ctg x
−
π
2 cos x
= (∞ − ∞) =
= lim
x→π/2
1
cos x
µ
x sin x −
π
2
= lim
x→π/2
x sin x −
π
2
cos x
=
µ
0
0
=
= lim
x→π/2
x cos x + sin x
−sin x
= −1.

Страницы