Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 170 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

22. Правило Лопиталя 169
Степенные неопределенности 0
0
, ∞
0
, 1
∞
сводятся к
неопределенности 0 ·∞ путем логарифмирования соответству-
ющего выражения.
22.3. Найдите следующие пределы:
а) lim
x→+∞
(x + 2
x
)
1/x
; б) lim
x→0
x
1
ln(e
x
−1)
.
Решение:
а) имеем неопределённость ∞
0
. Обозначим y = (x + 2
x
)
1/x
,
находим ln y =
ln(x + 2
x
)
x
. Будем искать
lim
x→+∞
ln y = lim
x→+∞
ln(x + 2
x
)
x
=
µ
∞
∞
=
= lim
x→+∞
1 + 2
x
ln 2
x + 2
x
µ
∞
∞
= lim
x→+∞
2
x
µ
1
2
x
+ ln 2
2
x
µ
x
2
x
+ 1
= ln 2,
так как lim
x→+∞
1
2
x
= 0, lim
x→+∞
x
2
x
=
µ
∞
∞
= lim
x→+∞
1
2
x
ln 2
= 0.
Поскольку lim
x→+∞
ln y = ln 2, то lim
x→+∞
y = 2;
б) имеем неопределённость 0
0
. Обозначим y = x
1
ln(e
x
−1)
,
ln y =
ln x
ln(e
x
− 1)
,
lim
x→0
ln y = lim
x→0
ln x
ln(e
x
− 1)
=
µ
∞
∞
= lim
x→0
e
x
− 1
xe
x
=
µ
0
0
=
= lim
x→0
e
x
e
x
+ xe
x
= 1.
Так как lim
x→0
ln y = 1, то, учитывая непрерывность функции
ln x, получаем ln lim
x→0
y = 1, отсюда lim
x→0
y = e.

Страницы