Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 172 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

23. Признаки постоянства и монотонности 171
23. Признаки постоянства и монотонности
функции
Пусть числовая функция y = f(x) одного числового аргу-
мента дифференцируема в каждой точке промежутка (a, b).
Тогда:
а) если f
0
(x) ≡ 0 на (a, b), то f(x) константа;
б) если f
0
(x) ≤ 0 на (a, b), то f(x) не возрастает;
в) если f
0
(x) ≥ 0 на (a, b), то f(x) не убывает.
Во всех трех случаях верны и обратные утверждения. Если
точки, в которых f
0
(x) = 0, не заполняют сплошь никакого про-
межутка из (a, b), то при f
0
(x) ≤ 0 функция строго монотонно
убывает, а при f
0
(x) ≥ 0 — строго монотонно возрастает. Для
практических целей обычно пользуются такими достаточными
признаками: если производная f
0
(x) > 0 (< 0) повсюду, исклю-
чая разве лишь конечное число значений x, то функция f(x)
будет возрастающей (убывающей).
23.1. Докажите, что arcsin x + arccos x =
π
2
, −1 < x < 1.
Решение. Рассмотрим функцию f(x) = arcsin x + arccos x,
дифференцируемую на (−1; 1). Так как
f
0
(x) =
1
√
1 − x
2
−
1
√
1 − x
2
= 0,
то f(x) = C. Поскольку f(0) =
π
2
, то C =
π
2
.
23.2. Найдите участки монотонности следующих функций:
а) f(x) = (x − 2)
5
(2x + 1)
4
; б) f(x) =
1
4x
3
− 9x
2
+ 6x
.
Решение: а) находим
f
0
(x) = 5(x − 2)
4
(2x + 1)
4
+ 8(x − 2)
5
(2x + 1)
3
=
= (x − 2)
4
(2x + 1)
3
[5(2x + 1) + 8(x −2)] =
= (x − 2)
4
(2x + 1)
3
(18x − 11).
Функция возрастает, если f
0
(x) > 0. Решая неравенство
(x − 2)
4
(2x + 1)
3
(18x − 11) > 0 методом интервалов, получаем,

Страницы