Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 173 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

172 Дифференциальное исчисление
что функция возрастает на
µ
−∞; −
1
2
и
µ
11
18
; +∞
. Из нера-
венства f
0
(x) < 0 следует, что на
µ
−
1
2
;
11
18
функция убывает;
б) находим f
0
(x) = −
12x
2
− 18x + 6
(4x
3
− 9x
2
+ 6x)
2
=
= −
6(2x
2
− 3x + 1)
x
2
(4x
2
− 9x + 6)
2
= −
12(x − 1/2)(x − 1)
x
2
(4x
2
− 9x + 6)
2
.
Заметим, что функция f(x) определена всюду, кроме точки
x = 0, поскольку 4x
2
− 9x + 6 > 0 при любом x. Функция воз-
растает, если f
0
(x) > 0, т. е. если −12
µ
x −
1
2
(x − 1) ≥ 0 или
µ
x −
1
2
(x − 1) ≤ 0. Получаем, что функция на
µ
1
2
; 1
возрас-
тает. Из неравенства −
µ
x −
1
2
(x − 1) < 0, или
µ
x −
1
2
(x − 1) ≥ 0, и из того, что точка x = 0 не входит в
область определения функции, следует, что на промежутках
(−∞; 0),
µ
0,
1
2
и (1; +∞) функция убывает.
23.3. Докажите следующие неравенства:
а) sin x ≤ x; б) cos x ≥ 1 −
x
2
2
при x > 0.
Решение: а) при x ≥
π
2
неравенство sin x ≤ x очевидно, так
как sin x ≤ 1 <
π
2
. Рассмотрим функцию f (x) = sin x − x,
x ∈
·
0;
π
2
. Функция f(x) непрерывна и дифференцируема на
·
0;
π
2
, причем f (0) = 0 и f
0
(x) = cos x − 1 < 0 на
µ
0;
π
2
,
следовательно, функция f(x) = sin x − x на этом промежутке
убывает, а так как f(0) = 0, то sin x − x < 0 при x ∈
µ
0;
π
2
.
Неравенство sin x ≤ x доказано;

Страницы