Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 175 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

174 Дифференциальное исчисление
24. Экстремумы
Мы будем рассматривать числовые функции одного или
многих аргументов.
Пусть функция f(M) непрерывна в некоторой области D
и M
0
∈ D. Точка M
0
называется точкой максимума (мини-
мума), если существует такая окрестность U
δ
(M
0
) точки M
0
,
что для любой точки M ∈ U
δ
(M
0
) выполняется неравенство
f(M) ≤ f(M
0
) (f(M) ≥ f(M
0
)). Если при этом выполняются
строгие неравенства, то точку M
0
называют точкой строгого
максимума (минимума). Точки минимума и максимума функ-
ции называют её точками экстремума.
В подразделах 3.3.1 и 3.3.2 пособия [5] приведены необходи-
мые и достаточные условия экстремума, которые рекомендует-
ся изучить.
24.1. Пользуясь первой производной, найдите экстремумы
функций:
а) f(x) = x
3
− 3x
2
+ 3x + 2;
б) f(x) = x
4
− 8x
3
+ 22x
2
− 24x + 12;
в) f(x) = x
2/3
− (x
2
− 1)
1/3
.
Решение: а) так как функция f(x) дифференцируема всюду,
то экстремум возможен только в стационарных точках. Нахо-
дим их, приравнивая нулю производную:
f
0
(x) = 3x
2
− 6x + 3 = 3(x
2
− 2x + 1) = 3(x − 1)
2
= 0.
Стационарная точка единственна: x
0
= 1. При переходе че-
рез точку x
0
= 1 производная знак не меняет. По достаточно-
му признаку, связанному с первой производной, в точке x
0
= 1
экстремума нет;
б) f
0
(x) = 4x
3
− 24x
2
+ 44x − 24 = 4(x − 1)(x − 2)(x − 3).
Видим, что точки x
1
= 1, x
2
= 2,
Рис. 24.1
x
3
= 3 являются стационарными
(рис. 24.1). Применяя метод интер-
валов, получаем, что на (−∞; 1)
функция убывает, а на (1; 2) — возрастает. При переходе че-
рез точку x
1
= 1 производная меняет знак по схеме (−, +),

Страницы