Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 177 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

176 Дифференциальное исчисление
Так как f
00
(0) = 2 > 0, то в точке x
1
= 0 — минимум, а
так как f
00
(2) = (4 − 8 + 2)e
−2
= −2e
−2
< 0, то в точке x
2
= 2
— максимум;
б) находим f
0
(x) = e
x
− e
−x
− 2 sin x. Единственной ста-
ционарной точкой, что легко доказать, является точка x = 0.
Вычисляем старшие производные:
f
00
(x) = e
x
+ e
−x
− 2 cos x, f
00
(0) = 0;
f
000
(x) = e
x
− e
−x
+ 2 sin x, f
000
(0) = 0;
f
(4)
(x) = e
x
+ e
−x
+ 2 cos x, f
(4)
(0) = 4 6= 0, f
(4)
(0) > 0.
Так как первой не обратилась в нуль производная четного
порядка, то в точке x = 0 имеется экстремум, а поскольку
f
(4)
(0) > 0, то в точке x = 0 — минимум.
Переходим к отысканию точек экстремума функции мно-
гих аргументов u = f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
). Если функция u = f(M)
дифференцируема, то необходимым условием существования
экстремума в точке M
0
является равенство df(M
0
) = 0 для лю-
бого вектора приращений (∆x
1
, ∆x
2
, . . . , ∆x
n
). Это приводит к
равенству нулю всех частных производных первого порядка:
∂f
∂x
1
(M
0
) =
∂f
∂x
2
(M
0
) = ··· =
∂f
∂x
n
(M
0
) = 0.
Если при этом в точке M
0
существуют и непрерывны все част-
ные производные второго порядка, то достаточные условия
экстремума связаны со знаком d
2
f. Если d
2
f(M
0
) > 0 для
любого вектора приращений, то в точке M
0
— минимум, ес-
ли d
2
f(M
0
) < 0 для любого вектора приращений, то в M
0
—
максимум, если d
2
f(M
0
) 6= 0, но d
2
f(M
0
) знак не сохраняет,
т. е. для одних векторов приращений d
2
f(M
0
) > 0, а для дру-
гих — d
2
f(M
0
) < 0, то в точке M
0
нет экстремума, если же
d
2
f(M
0
) = 0 хотя бы для одного из векторов приращений, то
экстремум может быть или не быть, нужны дополнительные
исследования.
Так как d
2
f представляет собой квадратичную форму от-
носительно ∆x
i
, то для определения знака d
2
f можно исполь-
зовать критерий Сильвестра положительной (отрицательной)
определенности квадратичной формы.

Страницы