Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 179 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

178 Дифференциальное исчисление
Стационарные точки находим из условия
∂z
∂x
= 0,
∂z
∂y
= 0. В результате получаем систему
∂f
∂x
= 3x
2
+ 3y
2
− 15 = 0,
∂f
∂y
= 6xy −12 = 0,
или
½
x
2
+ y
2
− 5 = 0,
xy −2 = 0.
Решая эту систему, получаем четыре стационарные точки:
M
1
(−2; −1), M
2
(−1; −2), M
3
(1; 2), M
4
(2; 1). Находим вторые
частные производные:
∂
2
z
∂x
2
= 6x,
∂
2
z
∂x∂y
= 6y,
∂
2
z
∂y
2
= 6x.
Для M
1
(−2; −1): A =
∂
2
z
∂x
2
(M
1
) = −12,
B =
∂
2
z
∂x∂y
(M
1
) = −6, C =
∂
2
z
∂y
2
(M
1
) = −12,
AC − B
2
= 144 − 36 > 0. Так как A < 0, AC − B
2
> 0, то в точ-
ке M
1
— максимум.
Для M
2
(−1; −2): A = −6, B = −12, C = −6,
AC − B
2
= 36 − 144 < 0. В точке M
2
экстремума нет.
Для M
3
(1; 2): A = 6, B = 12, C = 6,
AC − B
2
= 36 − 144 < 0. В точке M
3
экстремума нет.
Для M
4
(2; 1): A = 12, B = 6, C = 12,
AC − B
2
= 144 − 36 > 0. Так как A > 0, AC − B
2
> 0, то в
точке M
4
имеем минимум;
б) в данном случае
∂z
∂x
= 2x −2y
2
,
∂z
∂y
= −4xy + 4y
3
−5y
4
.
Стационарные точки находим, решая систему
½
x − y
2
= 0,
−4xy + 4y
3
− 5y
4
= 0.

Страницы