Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 181 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

180 Дифференциальное исчисление
Найдем значения вторых производных в стационарной
точке:
∂
2
u
∂x
2
= −2yz,
∂
2
u
∂x
2
(M
0
) = −2;
∂
2
u
∂y∂x
= z(4 − x − y − z) −yz − xz,
∂
2
u
∂y∂x
(M
0
) = −1;
∂
2
u
∂z∂x
= y(4 −x −y −z) − yz − xy,
∂
2
u
∂z∂x
(M
0
) = −1;
∂
2
u
∂y
2
= −2xz,
∂
2
u
∂y
2
(M
0
) = −2;
∂
2
u
∂z∂y
= x(4 − x − y − z) − xz − xy,
∂
2
u
∂z∂y
(M
0
) = −1;
∂
2
u
∂z
2
= −2xy,
∂
2
u
∂z
2
(M
0
) = −2.
Матрица G для точки M
0
принимает вид
G =
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−2 −1 −1
−1 −2 −1
−1 −1 −2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
. Находим её главные миноры:
∆
1
= −2 < 0, ∆
2
=
¯
¯
¯
¯
−2 −1
−1 −2
¯
¯
¯
¯
= 3 > 0,
∆
3
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
−2 −1 −1
−1 −2 −1
−1 −1 −2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
0 1 3
0 −1 1
−1 −1 −2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
= −(2 + 1) = −3 < 0.
Знаки главных миноров чередуются, начиная с отрицатель-
ного, следовательно, в точке M
0
имеем максимум.
Часто встречаются задачи отыскания экстремума функции
u = f(x
1
, x
2
, . . . , x
n
), когда независимые переменные связаны
некоторыми соотношениями (связями):
Φ
1
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = 0,
Φ
2
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = 0,
···············
Φ
m
(x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = 0, m < n.

Страницы