Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 183 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

182 Дифференциальное исчисление
Для отыскания точек, «подозрительных» на условный экстре-
мум, получаем систему
−1 + λx = 0,
−2 + λy = 0,
x
2
+ y
2
= 5,
решая которую,
находим:
λ
1
= 1, x
1
= 1, y
1
= 2; λ
2
= −1, x
2
= −1, y
2
= −2.
Так как
∂
2
F
∂x
2
= 2λ,
∂
2
F
∂y∂x
= 0,
∂
2
F
∂y
2
= 2λ,
то d
2
F = 2λ
£
(dx)
2
+ (dy)
2
¤
.
Если λ = λ
1
= 1, то d
2
F > 0 и в точке M
1
(1; 2) имеется
условный минимум, равный 3 − 2 − 8 = −7.
Если же λ = λ
2
= −1, то d
2
F < 0 и в точке M
2
(−1; −2)
функция z(x, y) имеет условный максимум, равный
3 + 2 + 8 = 13.
Задачи для самостоятельного решения
24.5. Пользуясь первой производной, найдите точки экс-
тремума следующих функций:
а) f(x) = x − ln(1 + x
2
); б) f(x) = x
2
3
√
6x − 7;
в) f(x) = x
2/3
+ x
5/3
; г) f(x) = (x − 5)
2
3
p
(x + 1)
2
.
24.6. Пользуясь производными высших порядков, иссле-
дуйте на экстремум следующие функции:
а) f(x) =
x
ln x
; б) f(x) =
1
4
x
4
−
5
3
x
3
+ 3x
2
;
в) f(x) = e
x
− e
−x
− 2 sin x; г) f(x) = x
3
e
−x
.
24.7. Исследуйте на экстремум следующие функции:
а) f(x, y) = x
4
+ y
4
− 2x
2
+ 4xy −2y
2
;
б) u(x, y, z) = x
2/3
+ y
2/3
+ z
2/3
;
в) u(x, y, z) = x
2
+ y
2
+ z
2
− 4x − 6y −2z;
г) u(x, y) = x
3
y
2
(12 − x − y), x > 0, y > 0.

Страницы