Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 185 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

184 Дифференциальное исчисление
Видим, что наименьшее значение m = 0, оно достигается в точ-
ках x
2
= 2 и x
3
= 0, а наибольшее — M =
3
√
9. Оно достигается
в граничных точках x
4
= −1 и x
5
= 3.
25.2. Требуется изготовить коническую воронку с образу-
ющей, равной 20 см (рис. 25.1). Какова должна быть высота
воронки, чтобы объём её был наибольшим?
Решение. Будем считать нижнее ос-
Рис. 25.1
нование воронки пренебрежимо малым
по сравнению с верхним. Тогда фор-
ма воронки — конус. Обозначим x =
= |OA| — высоту воронки. Тогда R =
= |OB| =
p
(AB)
2
− x
2
. По условию
|AB| = 20 см. Поэтому R =
√
400 − x
2
и 0 ≤ x ≤ 20, отрицательные значения
x не имеют физического смысла. Нахо-
дим наибольшее значение функции:
V =
1
3
πR
2
H =
1
3
π · x(400 − x
2
) на [0; 20];
V
0
(x) =
1
3
π(400 −x
2
− 2x
2
) =
1
3
π(400 −3x
2
).
Из условия V
0
(x) = 0 получаем x = ±
20
√
3
= ±
20
√
3
3
, отри-
цательное значение не принадлежит [0; 20]. Поэтому x =
20
√
3
3
.
При этом значении x объём V будет наибольшим, так как наи-
меньшее значение V = 0 достигается при x = 0 и x = 20. Итак,
при высоте H =
20
√
3
3
объём воронки будет наибольшим.
25.3. Найдите наименьшее и наибольшее значения функ-
ции z(x, y) = x
2
− 2y
2
+ 4xy − 6x − 1 в треугольнике, огра-
ниченном прямыми x = 0, y = 0, x + y = 3 (область D на
рис. 25.2).

Страницы