Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 186 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

25. Наибольшие и наименьшие значения функции 185
Решение. Находим
Рис. 25.2
стационарные точки из
системы
∂z
∂x
= 2x + 4y −6 = 0,
∂z
∂y
= −4y + 4x = 0.
Получаем единствен-
ную точку M
1
(1; 1). Она
лежит внутри области D.
z(M
1
) = z(1; 1) =
= 1 − 2 + 4 − 6 − 1 =
= −4.
Вычислим также значение функции z(x, y) в точках A, B, O:
z(0; 0) = −1, z(3; 0) = 9 − 18 − 1 = −10,
z(0; 3) = −18 − 1 = −19.
На прямой x + y = 3 имеем
z(x, y) = z(x, 3 − x) = x
2
− 2(3 − x)
2
+ 4x(3 − x) − 6x − 1 =
= x
2
− 18 + 12x − 2x
2
+ 12x − 4x
2
− 6x − 1 =
= −5x
2
+ 18x − 19 = 0.
Получили функцию от одного аргумента
f
1
(x) = −5x
2
+ 18x − 19. Ищем её критические точки на [0; 3]:
f
0
1
(x) = −10x + 18, x =
9
5
,
9
5
∈ [0; 3],
f
1
µ
9
5
= −
81
5
+
90
5
− 19 = −
86
5
.
При x = 0 и x = 3 приходим к точкам O(0; 0) и A(3; 0). На
границе OB получаем z(0; y) = −2y
2
− 1 = 0 = f
2
(y).
Получили функцию f
2
(y) = −2y
2
−1. Ищем её наибольшее
и наименьшее значения на [0; 3]: f
0
2
(y) = −4y = 0, y = 0, опять
получили точку (0; 0). При y = 0 и y = 3 получаем уже учтен-
ные точки O(0; 0) и B(0; 3). На границе OA имеем функцию

Страницы