Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 188 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

25. Наибольшие и наименьшие значения функции 187
Сравнивая значения функции в этих критических точках, ви-
дим, что наименьшее значение функции достигается в точках
M
2
и M
3
и равно −1, а наибольшее значение достигается в
точках M
1
и M
4
и равно 1.
25.5. При каких размерах открытая прямоугольная ванна
данной вместимости V имеет наименьшую поверхность?
Решение. Размеры основания ванны обозначим через x и y,
а высоту — через z. Тогда полная поверхность S(x, y, z) =
= xy + 2xz + 2yz. По условию задачи требуется найти наимень-
шее значение функции S(x, y, z) при условии, что xyz = V (V
задано). По смыслу задачи x > 0, y > 0, z > 0. Составляем
функцию Лагранжа F (x, y, z, λ) = xy + 2xz + 2yz + λ(xyz −V ).
Получаем систему
F
0
x
= y + 2z + λyz = 0,
F
0
y
= x + 2z + λxz = 0,
F
0
λ
= 2x + 2y + λxy = 0,
xyz = V,
решая которую, находим единственную критическую точку
x = y = 2
3
s
V
4
, z =
3
s
V
4
. При этих размерах поверхность ванны
будет наименьшей. Доказательство предоставляем читателю.
Задачи для самостоятельного решения
25.6. Найдите наибольшее и наименьшее значения данных
функций в указанном множестве:
а) y = x
5
− 5 x
4
+ 5x
3
+ 1 на [−1; 2];
б) y =
1 − x + x
2
1 + x − x
2
на [0; 1];
в) y =
p
x(10 − x) на [0; 10].
25.7. Найдите соотношение между радиусом R и высотой H
цилиндра, имеющего при данном объёме V наименьшую пол-
ную поверхность.

Страницы