Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 187 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

186 Дифференциальное исчисление
z(x, 0) = f
3
(x) = x
2
−6x−1. Ищем её наибольшее и наименьшее
значения на [0; 3]: f
0
3
(x) = 2x −6, x = 3, опять получили точку
A(3; 0). При x = 0 получаем точку (0; 0).
Итак, мы нашли следующие значения функции: −4, −1,
−19, −
86
5
. Сравнивая их, видим, что наибольшее значение
функции в данной области равно −1, оно достигается в точ-
ке O (0; 0), а наименьшее равно −19, оно достигается в точке
B(0; 3).
Для исследования поведения функции на границе области
можно применять приемы отыскания условного экстремума.
25.4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функ-
ции z = 2xy в области x
2
+ y
2
≤ 1.
Решение.
∂z
∂x
= 2y,
∂z
∂y
= 2x. Находим из условия равенства
нулю частных производных единственную стационарную точ-
ку M
0
(0; 0), расположенную внутри круга x
2
+ y
2
≤ 1, z(0; 0) =
= 0. Для отыскания наибольшего и наименьшего значений
на окружности x
2
+ y
2
= 1 поступим так же, как в зада-
чах на условный экстремум. Составим функцию Лагранжа
F (x, y, λ) = 2xy + λ(x
2
+ y
2
− 1) и найдем точки, в которых
возможны наибольшее и наименьшее значения. Из системы
∂F
∂x
= 2y + 2λx = 0,
∂F
∂y
= 2x + 2λy = 0,
∂F
∂λ
= x
2
+ y
2
− 1 = 0
получаем 4 точки: M
1
µ
1
√
2
;
1
√
2
, M
2
µ
1
√
2
; −
1
√
2
,
M
3
µ
−
1
√
2
;
1
√
2
, M
4
µ
−
1
√
2
; −
1
√
2
. При этом
z(M
1
) = z(M
4
) = 1, z(M
2
) = z(M
3
) = −1.

Страницы