Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 190 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

26. Выпуклость и вогнутость графика функции 189
Если на (a, b) существует f
00
(x), то для вогнутости (выпук-
лости) графика функции необходимо и достаточно, чтобы было
f
00
(x) ≥ 0 (f
00
(x) ≤ 0).
Точка x
0
, при переходе через которую график из вогнутого
превращается в выпуклый или наоборот, называется точкой
перегиба.
26.1. Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки
перегиба следующих функций:
а) y = x
4
− 12x
3
+ 48x
2
− 50; б) y = 4 −
3
√
x − 2.
Решение: а) функция имеет производные всех порядков, в
том числе и второго порядка. Поэтому найти интервалы вы-
пуклости и вогнутости можно, приравняв нулю вторую произ-
водную. Находим:
y
0
= 4x
3
− 36x
2
+ 96x;
y
00
= 12x
2
− 72x + 96 = 12(x
2
− 6x + 8) = 12(x − 2)(x − 4).
Отсюда следует, что на (−∞; 2) вторая производная
y
00
(x) > 0, т. е. график функции вогнут, на (2; 4) имеем y
00
< 0,
следовательно, график функции выпуклый, на (4; +∞) опять
y
00
(x) > 0, а поэтому график функции вогнут. При переходе че-
рез точки x
1
= 2 и x
2
= 4 вогнутость меняется на выпуклость
и наоборот, поэтому эти точки являются точками перегиба;
б) находим: y
0
= −
1
3
3
p
(x − 2)
2
, y
00
=
2
9
3
p
(x − 2)
5
. Видим,
что y
00
< 0, если (−∞, 2), т. е. график функции выпуклый,
y
00
> 0, если (2, +∞), т. е. график функции вогнутый. Точка
x = 2 является точкой перегиба. Заметим, что в этой точке не
существует ни y
0
, ни y
00
.
Задачи для самостоятельного решения
26.2. Найдите интервалы выпуклости, вогнутости и точки
перегиба для следующих функций:
а) y =
x
3
x
2
+ 1
; б) y = x
4
(12 ln x − 7).

Страницы