Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 192 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

27. Асимптоты графика функции 191
Если функция f(x) задана параметрически
½
x = x(t),
y = y(t),
то наклонные асимптоты y = kx + b могут быть только тогда,
когда существует такое значение t = t
0
, при котором одновре-
менно lim
t→t
0
x(t) = ∞ и lim
t→t
0
y(t) = ∞. При этом прямая y = kx+b
является асимптотой, если k = lim
t→t
0
y(t)
x(t)
, b = lim
t→t
0
[y(t) −kx(t)].
Прямая x = x
0
является вертикальной асимптотой, если
lim
t→t
0
y(t) = ∞, а lim
t→t
0
x(t) = x
0
.
Прямая y = b является горизонтальной асимптотой, если
lim
t→t
0
x(t) = ∞, а lim
t→t
0
y(t) = b.
27.1. Найдите асимптоты следующих функций:
а) f(x) =
2x
4
+ x
3
+ 1
x
3
; б) y =
√
x
2
− 1.
Решение: а) прямая x = 0 является двусторонней верти-
кальной асимптотой, так как lim
x→0
2x
4
+ x
3
+ 1
x
3
= ∞.
Находим:
k = lim
x→∞
f(x)
x
= lim
x→∞
2x
4
+ x
3
+ 1
x
4
= 2;
b = lim
x→∞
Ã
2x
4
+ x
3
+ 1
x
3
− 2x
!
= lim
x→∞
x
3
+ 1
x
3
= 1,
следовательно, прямая y = 2x + 1 является наклонной двусто-
ронней асимптотой;
б) вертикальных асимптот нет. Проверим существование
наклонных асимптот. Нужно различать случаи x → −∞
и x → +∞.
Находим
k = lim
x→−∞
√
x
2
− 1
x
= lim
x→−∞
−
s
x
2
− 1
x
2
= −1;
b = lim
x→−∞
(
√
x
2
− 1 + x) = lim
x→−∞
−1
√
x
2
− 1 − x
= 0,

Страницы