Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 184 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

25. Наибольшие и наименьшие значения функции 183
24.8. Исследуйте на условный экстремум следующие
функции:
а) z = x
2
− y
2
, если 2x + y = 1;
б) z = x
3
+ 2xy −y
2
− 13x − 1, если x + y = 1;
в) z = 6 − 4x − 3y, если x
2
+ y
2
= 1;
г) z = x
2
+ 12xy + 2y
2
, если 4x
2
+ y
2
= 25;
д) u = xy + yz, если x
2
+ y
2
= 2, y + z = 2;
е) z(x, y) = xyz, если x
2
+ y
2
+ z
2
= 1, x + y + z = 0.
25. Наибольшие и наименьшие значения
функции на замкнутом множестве
По теореме Вейерштрасса всякая непрерывная на замкну-
том множестве D функция достигает своего наибольшего и
наименьшего значения. Соответствующие точки могут быть
либо внутренними, либо граничными множества D. Для их
отыскания можно применять такую схему: найти все точки,
«подозрительные» на экстремум внутри множества D и на его
границе, вычислить значения во всех найденных точках и из
них выбрать наибольшее и наименьшее. Как видим, исследо-
вать функцию на экстремум в данной задаче не требуется.
25.1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функ-
ции y =
3
p
(x
2
− 2x)
2
на [−1; 3].
Решение. Находим критические точки данной функции,
приравнивая нулю её производную y
0
=
2(2x − 2)
3
3
√
x
2
− 2x
. В точ-
ке x
1
= 1 производная равна нулю, в точках x
2
= 2 и x
3
= 0
производная не существует. Все эти точки внутренние отрезка
[−1; 3]. Точки x
4
= −1 и x
5
= 3 являются граничными. Вычис-
ляем значение функции во всех найденных точках:
y(x
1
) = y(1) = 1, y(x
2
) = y(2) = 0, y(x
3
) = y(0) = 0,
y(x
4
) = y(−1) =
3
√
9, y(x
5
) = y(3) =
3
√
9.

Страницы