Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 182 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

24. Экстремумы 181
Такие экстремумы называют условными. Если данные соотно-
шения удаётся разрешить относительно x
1
, x
2
, . . . , x
m
, то зада-
ча на условный экстремум сводится к задаче на безусловный
экстремум некоторой функции v = Ψ(x
m+1
, x
m+2
, . . . , x
n
). Ес-
ли это сделать затруднительно, то применяют метод Лагранжа,
заключающийся в следующем. Вводят вспомогательную функ-
цию F (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) = f (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) + λ
1
Φ
1
+ λ
2
Φ
2
+ ··· +
+ λ
m
Φ
m
. Точки, в которых возможен условный экстремум, на-
ходят из системы
∂F
∂x
1
= 0,
∂F
∂x
2
= 0, . . . ,
∂F
∂x
n
= 0, Φ
1
= 0,
Φ
2
= 0, . . . , Φ
m
= 0. Исследуя знак d
2
F в этих точках, выяс-
няют, действительно ли имеется экстремум.
24.4. Исследуйте на условный экстремум следующие
функции:
а) z(x, y) = x
2
+ y
2
− xy + x + y, если x + y = 3;
б) z(x, y) = 3 − 2x − 4y, если x
2
+ y
2
= 5.
Решение: а) находим y = 3 − x. Функция z(x, y) превраща-
ется в функцию одного переменного
z = f(x) = z(x; 3 −x) = x
2
+ (3 −x)
2
−x(3 −x) + x + 3 −x =
= x
2
+ 9 − 6x + x
2
− 3x + x
2
+ 3 = 3x
2
− 9x + 12.
Полученную функцию f(x) = 3x
2
− 9x + 12 исследуем на
экстремум. Находим стационарные точки:
f
0
(x) = 6x − 9, x
0
=
9
6
=
3
2
; f
00
(x) = 6 > 0,
следовательно, в точке x
0
=
3
2
функция f(x) имеет минимум.
Так как y
0
= 3 −
3
2
=
3
2
, то точка
µ
3
2
;
3
2
является точкой
условного минимума;
б) составляем функцию F (x, y, z) = 3−2x−4y+λ(x
2
+y
2
−5),
находим:
∂F
∂x
= −2 + 2λx,
∂F
∂y
= −4 + 2λy,
∂F
∂λ
= x
2
+ y
2
−5.

Страницы