Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 180 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

24. Экстремумы 179
Имеем единственную стационарную точку O(0; 0). Для её ис-
следования находим:
∂
2
z
∂x
2
= 2,
∂
2
z
∂x∂y
= −4y,
∂
2
z
∂y
2
= −4x + 12y
2
− 20y
3
,
A = 2, B = C = 0; AC −B
2
= 0.
О существовании экстремума из этих соотношений никакого
вывода сделать нельзя. При этих условиях d
2
f(0; 0) = 2(∆x)
2
,
а поэтому d
2
f(0; 0) = 0 для любого вектора приращений вида
(0; ∆y).
Найдем приращение функции z(x, y) при переходе из точки
(0; 0) в точку (0 + ∆x; 0 + ∆y):
∆z = f (0 + ∆x; 0 + ∆y) − f(0; 0) =
= (∆x)
2
− 2∆x(∆y)
2
+ (∆y)
4
− (∆y)
5
− 0 =
=
£
∆x − (∆y)
2
¤
2
− (∆y)
5
.
Положим ∆x = (∆y)
2
, ∆y > 0, получим ∆z = −(∆y)
5
< 0.
Положим ∆y = 0, ∆x 6= 0, получим ∆z = (∆x)
2
> 0.
Таким образом, приращение ∆z для различных векторов
приращений имеет разные знаки, следовательно, в точке (0; 0)
экстремума нет;
в) стационарные точки находим из системы
u
0
x
= yz(4 − x − y − z) − xyz = 0 ,
u
0
y
= xz(4 − x − y − z) − xyz = 0,
u
0
z
= xy(4 − x − y − z) − xyz = 0.
Так как по условию x > 0, y > 0, z > 0, то эта система экви-
валентна системе
4 − x − y − z − x = 0,
4 − x − y − z − y = 0,
4 − x − y − z − z = 0,
или
y − x = 0,
z − x = 0,
4 − x − y − 2z = 0,
из которой следует, что существует единственная стационарная
точка M
0
(1; 1; 1).

Страницы