Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 178 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

24. Экстремумы 177
Составляем матрицу
G =
∂
2
f
∂x
2
1
(M
0
)
∂
2
f
∂x
1
∂x
2
(M
0
) ···
∂
2
f
∂x
1
∂x
n
(M
0
)
∂
2
f
∂x
2
∂x
1
(M
0
)
∂
2
f
∂x
2
2
(M
0
) ···
∂
2
f
∂x
2
∂x
n
(M
0
)
··· ··· ··· ···
∂
2
f
∂x
n
∂x
2
1
(M
0
)
∂
2
f
∂x
n
∂x
2
(M
0
) ···
∂
2
f
∂x
2
n
(M
0
)
.
Если все её главные миноры ∆
j
положительны, то d
2
f(M
0
) > 0
и в точке M
0
— минимум, если знаки главных миноров чере-
дуются, начиная с отрицательного, то d
2
f(M
0
) < 0 и в точке
M
0
— максимум. Если все главные миноры отличны от нуля,
а их знаки меняются любым другим способом, то в точке M
0
экстремума нет. Если хотя бы один из главных миноров обра-
щается в нуль, то неизвестно, имеется ли экстремум. Уточним
эти условия для функции z = f (x, y) двух переменных. Обо-
значим
∂
2
f
∂x
2
(M
0
) = A,
∂
2
f
∂x∂y
(M
0
) = B,
∂
2
f
∂y
2
(M
0
) = C. Тогда
∆
1
= A, ∆
2
=
¯
¯
¯
¯
A B
B C
¯
¯
¯
¯
= AC − B
2
.
Если A > 0, AC − B
2
> 0, то в точке M
0
— минимум, ес-
ли A < 0, AC − B
2
> 0, то в точке M
0
— максимум, если
AC − B
2
< 0, то в точке M
0
нет экстремума, если AC − B
2
= 0,
то неизвестно, есть ли экстремум.
24.3. Найдите экстремумы функций:
а) z(x, y) = x
3
+ 3xy
2
− 15x − 12y;
б) z(x, y) = x
2
− 2xy
2
+ y
4
− y
5
;
в) u(x, y, z) = xyz(4 − x − y − z), x > 0, y > 0, z > 0.
Решение: а) функция z(x, y) имеет непрерывные частные
производные любого порядка на всей плоскости, поэтому при-
менимы достаточные условия экстремума, сформулированные
выше.

Страницы