Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 176 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

24. Экстремумы 175
следовательно, в точке x
1
= 1 имеется минимум. При переходе
через точку x
2
= 2 производная меняет знак по схеме (+, −),
т. е. в точке x
2
= 2 — максимум. В точке x
3
= 3 — минимум,
так как смена знака происходит по схеме (−, +);
в) f
0
(x) =
2
3
x
−1/3
−
1
3
(x
2
− 1)
−2/3
2x =
=
2
3
(x
2
− 1)
2/3
− x
4/3
x
1/3
(x
2
− 1)
2/3
.
Находим стационарные точки из условия f
0
(x) = 0, следова-
тельно, (x
2
− 1)
2/3
= x
4/3
, или (x
2
− 1)
2
= x
4
,
x
4
− 2x
2
+ 1 = x
4
, отсюда x
1
= −
1
√
2
, x
2
=
1
√
2
.
Кроме того, в точках
Рис. 24.2
x
3
= 0, x
4
= −1 и x
5
= 1 про-
изводная не существует. Та-
ким образом, имеем пять
точек, «подозрительных» на
экстремум: −1, −
1
√
2
, 0,
1
√
2
, 1. Поведение знаков производной
при переходе через эти точки изображено на рисунке 24.2.
В точках x
4,5
= ±1 нет экстремума, в точках x
1,2
= ±
1
√
2
—
максимум, а в точке x
3
= 0 — минимум.
24.2. Пользуясь производными высших порядков, иссле-
дуйте на экстремум следующие функции:
а) f(x) = x
2
e
−x
; б) f(x) = e
x
+ e
−x
+ 2 cos x.
Решение: а) f
0
(x) = 2xe
−x
− x
2
e
−x
= (2x − x
2
)e
−x
.
Из условия f
0
(x) = (2x − x
2
)e
−x
= 0 находим две стацио-
нарные точки: x
1
= 0, x
2
= 2. Находим вторую производную:
f
00
(x) = (2 − 2x)e
−x
− (2x − x
2
)e
−x
=
= (2 − 2x − 2x + x
2
)e
−x
= (x
2
− 4x + 2)e
−x
.

Страницы