Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

23. Признаки постоянства и монотонности 173
б) рассмотрим функцию f(x) = cos x+
x
2
2
−1 при x ≥ 0. Так
как f(0) = 0 и функция f(x) непрерывна, то для доказатель-
ства неравенства достаточно показать, что f(x) возрастает на
(0; +∞), т. е. достаточно показать, что f
0
(x) = −sin x + x > 0,
но это доказано в примере а этой задачи.
Задачи для самостоятельного решения
23.4. Докажите, что arcsin x = arctg
x
√
1 −x
2
, −1 < x < 1.
23.5. Докажите, что arctg
2x
1 − x
2
x = arctg x + C, x 6= ±1,
причем C =
0, если −1 < x < 1;
π/2, если −∞ < x < −1;
−π/2, если 1 < x < +∞.
23.6. Найдите, при каких значениях коэффициента a функ-
ция f(x) = x
3
− ax возрастает на всей числовой оси.
23.7. Найдите области монотонности следующих функций:
а) f(x) =
1 − x + x
2
1 + x + x
2
; б) f(x) = x − e
x
;
в) f(x) = x + cos x; г) f(x) =
x
ln x
.
23.8. Докажите справедливость следующих неравенств:
а) tg x > x +
1
3
x
3
, 0 < x <
π
2
;
б) x −
x
3
3
< arctg x < x −
x
3
6
, 0 < x ≤ 1;
в) e
x
≥ 1 + x для всех x;
г) ln x ≤ x − 1 при x > 0;
д) 2x arctg x ≥ ln(1 + x
2
) для всех x.

Страницы