Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2. Функции. Простейшие свойства функций 17
2.1. Пусть f(x + 3) = x
2
+ 4x + 5. Найдите f(x).
Решение. Преобразуем выражение A = x
2
+ 4x + 5. Можем
записать:
A = (x + 3)
2
− 6x − 9 + 4x + 5 = (x + 3)
2
− 2x − 4 =
= (x + 3)
2
− 2(x + 3) + 6 − 4 = (x + 3)
2
− 2(x + 3) + 2.
Отсюда следует, что f(x) = x
2
− 2x + 2.
2.2. Дано, f
µ
1
x
= x
2
+ 4. Найдите f(x).
Решение. Обозначим
1
x
= u. Тогда
x =
1
u
, f(u) =
1
u
2
+ 4 =
4u
2
+ 1
u
2
.
Обозначая аргумент через x, получим f(x) =
4x
2
+ 1
x
2
.
2.3. Даны функции f(x) =
x
2
− 1
x
2
+ 3
, ϕ(x) =
1
x + 1
. Найдите
f[f(x)], ϕ[ϕ(x)], f[ϕ(x)], ϕ[f(x)].
Решение:
f[f(x)] =
Ã
x
2
− 1
x
2
+ 3
!
2
− 1
Ã
x
2
− 1
x
2
+ 3
!
2
+ 3
=
(x
2
− 1)
2
− (x
2
+ 3)
2
(x
2
− 1)
2
+ 3(x
2
+ 3)
2
=
= −
2(x
2
+ 1)
x
4
+ 4x
2
+ 7
; ϕ[ϕ(x)] =
1
1
x + 1
+ 1
=
x + 1
2 + x
;
f[ϕ(x)] =
µ
1
x + 1
2
− 1
1
(x + 1)
2
+ 3
=
1 − (x + 1)
2
1 + 3(x + 1)
2
;
ϕ[f(x)] =
1
x
2
− 1
x
2
+ 3
+ 1
=
x
2
+ 3
2x
2
+ 2
.

Страницы