Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

18 Введение в математический анализ
2.4. Даны функции f(x) =
√
x, ϕ(x) = sin x. Найдите
f[f(x)], ϕ[ϕ(x)], f[ϕ(x)], ϕ[f(x)].
Решение. f[f(x)] =
q
√
x =
4
√
x; ϕ[ϕ(x)] = sin(sin x);
f[ϕ(x)] =
√
sin x; ϕ[f(x)] = sin(
√
x).
2.5. Найдите область определения следующих функций:
а) f(x) =
√
x
2
− x − 2 +
1
√
3 + 2x − x
2
;
б) f(x) =
s
lg
5x − x
2
4
.
Решение:
а) область определения данной функции состоит из тех зна-
чений x, для которых оба слагаемых принимают действитель-
ные значения. Должны выполняться два условия:
½
(x
2
− x − 2) ≥ 0,
(3 + 2x − x
2
) > 0.
Корнями квадратного уравнения x
2
− x − 2 = 0 являются чис-
ла −1 и 2, a уравнения 3 + 2x − x
2
= 0 — числа −1 и 3. Поэтому
данная система эквивалентна системе
½
(x + 1)(x − 2) ≥ 0,
(x + 1)(x − 3) < 0.
Используя метод интервалов, находим, что первое неравен-
ство выполняется на лучах (−∞; − 1] и [2; + ∞), а второе — в
интервале (−1;3). Общей частью этих трёх множеств является
множество [2;3), которое и есть область определения данной
функции;
б) функция f(x) =
s
lg
5x − x
2
4
принимает действитель-
ные значения, если lg
5x − x
2
4
≥ 0, т.е. если
5x − x
2
4
≥ 1, или
x
2
− 5x + 4 = (x − 1)(x − 4) ≤ 0. Решая последнее неравенство,
находим, что областью определения является отрезок [1;4].

Страницы