Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

20 Введение в математический анализ
Решение. Область определения этой функции являет-
ся пересечением областей определения координатных функ-
ций f
1
(x, y) = x + arcsin y и f
2
(x, y) = y + arcsin x. Первая из
них определена в полосе −1 ≤ y ≤ 1, а вторая — в полосе
−1 ≤ x ≤ 1. Эти полосы пересекаются по замкнутому квадрату
со сторонами x = ±1 и y = ±1, который и является областью
определения данной функции.
2.9. Функция f(x) определена на отрезке [2;4]. Какова об-
ласть определения функций: а) f(8x
2
); б) f(x − 3).
Решение:
а) функция f(8x
2
) является композицией функций
u = 8x
2
и f(u). Область значений функции u = 8x
2
долж-
на входить в область определения функции f(u), поэто-
му 2 ≤ 8x
2
≤ 4 , т.е. 1/4 ≤ x
2
≤ 1/2. Отсюда следует, что
множество [−1/
√
2; − 1/2] ∪ [1/2;1/
√
2] является областью
определения функции f(8x
2
);
б) функция f(x −3) определена при всех x, удовлетворяю-
щих неравенству 2 ≤ x − 3 ≤ 4, т.е. на отрезке [5;7].
2.10. Докажите, что функция f
1
(x) = lg
1 − x
1 + x
является
нечётной, f
2
(x) = x
3
x
+ 1
3
x
− 1
— чётной, а функция f
3
(x) = 2x
3
−
−x + 1 — общего вида (не является ни чётной, ни нечётной).
Решение:
f
1
(−x) = lg
1 + x
1 − x
= lg
µ
1 − x
1 + x
−1
= −lg
1 − x
1 + x
= −f
1
(x);
f
2
(−x) = −x
3
−x
+ 1
3
−x
− 1
= −x
1/3
x
+ 1
1/3
x
− 1
= −x
3
x
+ 1
1 − 3
x
=
= x
3
x
+ 1
3
x
− 1
= f
2
(x),
т.е. функция f
1
(x) нечётна, а f
2
(x) чётна;
f
3
(−x) = −2x
3
+ x + 1. Видим, что f
3
(x) 6= −f
3
(−x) и
f
3
(−x) 6= f
3
(x), т.е. функция f
3
(x) — общего вида.

Страницы