Практикум по дифференциальному исчислению. Магазинников Л.И - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТУСУР | Томск

Составители: 

Рубрика: 

2. Функции. Простейшие свойства функций 21
2.11. Докажите, что если f(x) — периодическая функция
с периодом T, то функция f(ax) также периодическая с пери-
одом T/a.
Решение. Действительно, f[a(x + T/a)] = f(ax + T ) = f(ax),
т.е. T/a — один из периодов функции f(ax).
2.12. Найдите период функции f(x) = cos
2
x.
Решение. Можем записать: cos
2
x =
1 + cos 2x
2
. Видим, что
период функции cos
2
x совпадает с периодом функции cos 2x.
Так как период функции cos x равен 2π, то согласно задаче 2.11
период функции cos 2x равен π.
2.13. Найдите период функций: а) f(x) = sin 2πx;
б) f(x) = |cos x|.
Ответ: а) T = 1; б) T = π.
Задачи для самостоятельного решения
2.14. Пусть f (x) = x
2
и ϕ(x) = 2
x
. Найдите: а) f[ϕ(x)],
б) ϕ[f(x)].
2.15. Найдите f (x + 1), если f (x − 1) = x
2
.
2.16. Дана функция f (x) =
1
1 − x
.
Найдите ϕ(x) = f{f[f(x)]}.
2.17. Дана функция f(x) = 3x
2
− 4x − 2. Докажите, что
функция f(2x + 1) может быть представлена в виде f(2x+1) =
= Ax
2
+ Bx + C. Найдите значения констант A, B, C.
2.18. Даны две линейные функции f
1
(x) = 5x + 4 и
f
2
(x) = 3x − 1. Докажите, что функция f(x) = f
2
[f
1
(x)] также
линейна, т. е. имеет вид f (x) = Ax + B. Найдите значения кон-
стант A и B.
2.19. Даны две функции f
1
(x) =
3x + 7
5x + 6
и f
2
(x) =
5x + 4
2x − 8
,
называемые дробно-линейными. Докажите, что функция
f(x) = f
1
[f
2
(x)] также дробно-линейна, т. е. имеет вид
f(x) =
Ax + B
Cx + D
. Укажите значения констант A, B, C, D.

Страницы